Partie B : modélisation et démonstration

On note \(x\) la distance \(\text{A}\text{E}\) exprimée en cm.
1. On cherche d'abord toutes les positions de \(\text{E}\) pour lesquelles l'aire du motif bleu recouvre la moitié de l'aire du carré \(\text{A}\text{B}\text{C}\text{D}\).
    a. Exprimer la distance \(\text{E}\text{B}\) en fonction de \(x\).
    b. Exprimer l'aire du motif bleu en fonction de \(x\).
    c. Montrer que résoudre l'équation \(2x^2-5x=0\) permet de répondre au problème.
    d. Une solution de cette équation est \(x=0\). Dire pourquoi cette solution n'est pas compatible avec le concours d'art urbain.
    e. Déterminer l'autre solution de l'équation.
2. On cherche toutes les positions de \(\text{E}\) pour lesquelles l'aire du motif bleu est supérieure à \(11\) m².
    a. Montrer que cela revient à résoudre l'inéquation \(2x^2-5x+3>0\).
    b. Démontrer que \(2x^2-5x+3=2(x-1)\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\).
    c. En déduire quelles sont les positions de \(\text{E}\) qui permettent de décorer une surface d'aire supérieure à \(11\) m².

3. Conclusion : déterminer où il faut placer le point \(\text{E}\) afin de satisfaire la contrainte du concours.